Криві експоненціальні сімейства є підмножина класу експоненціальних сімейств, де розмірність простору параметрів не відповідає розмірності експоненціальної сімейства.4 березня 2019 р
Приклад 1 Прикладом криволінійної експоненціальної сім’ї є N(µ, µ2),µ ∈ R. Криві експоненціальні сімейства природно виникають у застосуваннях CLT як наближення до бінома σ2 = p(1 − p)/n або σ2 Пуассона = λ/n.
Нормальний, експоненціальний, логарифмічний нормальний, гамма, хі-квадрат, бета, Діріхле, Бернуллі, категоричний, Пуассона, геометричний, обернений розподіл Гаусса, ALAAM, фон Мізеса та фон Мізеса-Фішера є експоненціальними сімействами.
У мінімальному експоненційному сімействі середнє µ := E[t(X)] є іншою параметризацією розподілу. Тобто між η і µ існує відображення 1-1.
Сімейство показникових функцій є одна з перших функцій, де ви бачите, не є основою експоненти. Ця функція зрештою зростає набагато швидше, ніж будь-яка функція потужності. є дуже поширеною експоненціальною функцією. Багато застосувань у біології та фінансах вимагають використання експоненціального зростання.
Набір подібних кривих, які мають однакову форму та відрізняються значеннями одного або кількох параметрів у їхньому загальному рівнянні.
Щоб продемонструвати експоненціальне зростання, припустімо популяція мишей зростає експоненціально в два рази щороку, починаючи з двох у перший рік, потім чотирьох у другому році, восьми у третьому році, 16 у четвертому році і так далі. При цьому популяція щорічно зростає в два рази.